Ворлд оф танк блиц общий тест
Захватывающие сражения, максимально правдоподобная система боя, более 90 уникальных боевых танков времен Второй мировой...
Дальнейшие свойства связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения
Минором элемента называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания стоки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Минор элемента определителя порядка имеет порядок . Будем его обозначать через .
Пример 1. Пусть , тогда .
Этот минор получается из A путём вычёркивания второй строки и третьего столбца.
Алгебраическим дополнением элемента называется соответствующий минор, умноженный на , т.е , где –номер строки и -столбца, на пересечении которых находится данный элемент.
VІІІ. (Разложение определителя по элементам некоторой строки). Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на соответствующие им алгебраические дополнения.
Пример 2. Пусть , тогда
Пример 3. Найдём определитель матрицы , разложив его по элементам первой строки.
Формально эта теорема и другие свойства определителей применимы пока только для определителей матриц не выше третьего порядка, поскольку другие определители мы не рассматривали. Следующее определение позволит распространить эти свойства на определители любого порядка.
Определителемматрицы порядка называется число, вычисленное с помощью последовательного применения теоремы о разложении и других свойств определителей.
Можно проверить, что результат вычислений не зависит от того, в какой последовательности и для каких строк и столбцов применяются вышеуказанные свойства. Определитель с помощью этого определения находится однозначно.
Хотя данное определение и не содержит явной формулы для нахождения определителя, оно позволяет находить его путём сведения к определителям матриц меньшего порядка. Такие определения называют рекуррентными.
Пример 4. Вычислить определитель:
Хотя теорему о разложении можно применять к любой строке или столбцу данной матрицы, меньше вычислений получится при разложении по столбцу, содержащему как можно больше нулей.
Поскольку у матрицы нет нулевых элементов, то получим их с помощью свойства VII . Умножим первую строку последовательно на числа и прибавим её ко строкам и получим:
Разложим получившийся определитель по первому столбцу и получим:
так как определитель содержит два пропорциональных столбца.
Некоторые виды матриц и их определители
Квадратная матрица, у которой ниже или выше главной диагонали стоят нулевые элементы ()называется треугольной.
Их схематичное строение соответственно имеет вид: или
.
Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду . Рассмотрим разложение определителя по строке или столбцу.
Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:
Разложение по i -той строке.
Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:
Разложение по j -той строке.
Для облегчения разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.
Найдем определитель матрицы четвертого порядка.
Будем раскладывать этот определитель за столбцом №3
Сделаем ноль вместо элемента a 4 3 =9
. Для этого из строки №4
вычтем от соответствующие элементы строки №1
умноженные на 3
.
Результат записываем в строке №4
все остальные строки переписываем без изменений.
Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a 1 3 = 3 в столбце № 3 . Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этим столбцом.
Видим, что только слагаемое №1
не превращается в ноль, все остальные слагаемые будут нолями, так как они умножаются на ноль.
Значит, далее нам надо разложить, только один определитель:
Будем раскладывать этот определитель за строкой №1 . Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.
Видим, что в этой строке есть два одинаковых числа, поэтому вычтем из столбца №3 столбец №2 , и результат запишем в столбце №3 , от этого величина определителя не изменится.
Далее нам надо сделать ноль вместо элемента a 1 2 =4 . Для этого мы элементы столбца №2 умножим на 3 и вычтем от него соответствующие элементы столбца №1 умноженные на 4 . Результат записываем в столбце №2 все остальные столбцы переписываем без изменений.
Но при этом надо не забывать, что если мы умножаем столбец №2 на 3 , то и весь определитель увеличится в 3 . А что бы он не изменился, значит надо его поделить на 3 .
Нахождение определителя матрицы является очень частой задачей в высшей математике и алгебре. Как правило, без значения определителя матрицы не обойтись при решении сложных систем уравнений. На вычислении определителя матрицы построен метод Крамера решения систем уравнений. С помощью определения детермината определяют наличие и единственность решения систем уравнений. Поэтому сложно переоценить важность умения правильно и точно находить определитель матрицы в математике. Методы решения определителей являются теоретически довольно простыми, однако с увеличением размера матрицы вычисления становятся очень громоздкими и требуют огромной внимательности и много времени. Очень легко в таких сложных математических вычислениях допустить незначительную ошибку или описку, что приведет к ошибке в окончательном ответе. Поэтому даже если вы находите определитель матрицы самостоятельно, важно проверить полученный результат. Это позволяет сделать наш сервис Нахождение определителя матрицы онлайн . Наш сервис выдает всегда абсолютно точный результат, не содержащий ни ошибок, ни описок. Вы можете отказаться от самостоятельных вычислений, поскольку с прикладной точки зрения, нахождение определителя матрицы не имеет обучающего характера, а просто требует много времени и числовых вычислений. Поэтому если в вашей задачи определение детерминанта матрицы являются вспомогательными, побочными вычислениями, воспользуйтесь нашим сервисом и найдите определитель матрицы онлайн !
Все вычисления проводятся автоматически с высочайшей точностью и абсолютно бесплатны. У нас очень удобный интерфейс для ввода матричных элементов. Но главное отличие нашего сервиса от аналогичных - возможность получения подробного решения. Наш сервис при вычислении определителя матрицы онлайн всегда использует самый простой и короткий метод и подробно описывает каждый шаг преобразований и упрощений. Так что вы получаете не просто значение детерминанта матрицы, окончательный результат, но и целое подробное решение.
Равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. , где i 0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i 0 .
Назначение сервиса
. Данный сервис предназначен для нахождения определителя матрицы в онлайн режиме с оформлением всего хода решения в формате Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее. Вычислить определитель можно будет двумя способами: по определению и разложением по строке или столбцу . Если требуется найти определитель созданием нулей в одной из строк или столбцов, то можно использовать этот калькулятор .
Определим минор для (2,1): для этого вычеркиваем из матрицы вторую строку и первый столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.Найдем определитель, использовав разложение по строкам (по первой строке):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.
Напомним теорему Лапласа:
Теорема Лапласа:
Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), . Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.
Для вычисления определителей в общем случае k берут равным 1. Т.е. в определителе d порядка n произвольно выбрана строка (или столбец). Тогда сумма произведений всех элементов, содержащихся в выбранной строке (или столбце), на их алгебраические дополнения равна определителю d.
Пример:
Вычислить определитель
Решение:
Выберем произвольную строку или столбец. По причине, которая станет очевидной чуть позже, ограничим свой выбор или третьей строкой или четвертым столбцом. И остановимся на третьей строке.
Воспользуемся теоремой Лапласа.
Первый элемент выбранной строки равен 10, он стоит в третьей строке и первом столбце. Вычислим алгебраическое дополнение к нему, т.е. найдем определитель, полученный вычеркиванием столбца и строки, на которых стоит этот элемент (10) и выясним знак.
«плюс, если сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор M четна, и минус, если эта сумма нечетна.»
А минор мы взяли состоящий из одного единственного элемента 10, который стоит в первом столбце третьей строки.
Итак:
Четвертое слагаемое этой суммы равно 0, именно поэтому стоит выбирать строки или столбцы с максимальным числом нулевых элементов.
Ответ:
-1228
Пример:
Вычислить определитель:
Решение:
Выберем первый столбец, т.к. два элемента в нем равны 0. Разложим определитель по первому столбцу.
Каждый из определителей третьего порядка разложим по первой второй строке
Каждый из определителей второго порядка разложим по первому столбцу
Ответ:
48
Замечание:
при решении этой задачи не использовались формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядков. Использовалось только разложение по строке или столбцу. Которое приводит к понижению порядка определителей.